搜狐网友4293546的空间

1，基本步骤：每个面顺时针90度称为一个基本步骤。共6个基本步骤，一个面一个。转180度，270度，反转。都是他的组合。

2，公式：一组原子旋转的组合步骤。可以是任意次基本步骤的组合。公式所包含的基本步骤数叫做公式长度。

3，对于任何状态，都可以使用任何公式的。对于公式而言，没有哪一个状态是特殊的。

4，一个公式所变换的所有状态必定产生一个环（不相交的圆圈）。

命题一：魔方任意旋转，状态数是有限的。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        我来简单的说一说证明思路。不用数学公式，但是简单的提提数学概念，帮助大家掌握点数学知识。

命题：一个公式所变换的所有状态必定产生一个环。

命题一：魔方任意旋转，状态数是有限的。

证明：这个命题很关键。先用最直观的方法，对于三阶魔方有六个面，每个面有9个色块，所以共有6*9=54个色块。54个色块的每一种排列组合对应一种魔方状态（一一对应）。大家明白了什么叫状态吗？54的全排列记做54！=54*53*52*51*....*3*2*1。显然这个数目是有限的。魔方的任意旋转所产生的状态不会比这个数目大，因为我贴色块是撕下来贴的，没有限制的。小朋友复原魔方就是这么做的。呵呵！

魔方状态空间                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        魔方的每一个状态可以看成一个点，魔方的全部状态组成一个空间。

魔方的一个状态也可以看成图论中的一个点。使用一个公式将魔方的一个状态转换成另一个状态，可以使用一条边连接这两个状态，在边的旁边标上这个公式的符号。

请大家想象这样的一幅图。这个图上的点是有限的，并且是联通的，不然就无法转换到其中的一个状态去。并且这个图是封闭的，就是状态中的任何点经过转换还在图中，也就是图都画完了。用群论讲，就是群是封闭的。像全部整数的集合对加法封闭，也就是任何数相加都是整数。但是整数对于开根号运算就不是封闭的，2开2次方就不是一个整数，而且还不是一个有理数（就是不能表示成一个分数）。

命题二，魔方的全部状态空间对于任何公式都是封闭的                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        魔方的全部状态组成的空间记做H，H是封闭的。

证明一：反证法。如果H是不封闭的，那么必有H中的一个点经过公式转换后生成的点不在H中（如果不存在这个的点，说明H是封闭的，根据封闭的定义），但是H是指“全部状态的集合”，因此假设H不封闭是不成立的。所以H封闭。

证明二：构造法，上面的方法还有点不太严密，如果我们有个方法能生成一个封闭的空间H,那么我们也证明 了这个命题。先设空间H为空集，首先增加一个初始点（六面全复原），经过一个公式变换，得到另外一个状态，如果这个状态不在集合H中，把它加入到集合H中，依次类推，H集合的点数不断增加。根据命题一，H集合的点数是有限的，理论上，这个过程是可以完结的。而且我们已经知道点数不会超过54!。

所以最终H集合是封闭的，也就是不可能再增加新的点啦。

命题三：公式变换是一个一一映射（一一对应）关系                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        魔方中使用一个公式将一个状态转换到另外一个状态叫做一个变换F。

注意， 魔方状态空间H中，一个状态点A，经过一个变换F，转换到状态B。

可以称作从A到B的一个映射，而且这个映射是一一映射。就是在公式F下，状态A只能变换到一个特定状态B，（不可能有两个状态，有时是B，有时是C）。同时在公式F下，状态B也只能由状态A变换过来，不可能从其他的状态转换过来，否则就不是一一对应啦！

简单的说，在公式F（或称变换F）下，一个图H(空间H对应的图，我们就不区分了)，一个图H中的点“有且只有”两条边，一个入边，一个出边（可以用有向图来描述）。

命题四、一个公式所有变换的点必定在H中画一个圈                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        命题四、一个公式所有变换的点必定在H中画一个圈，并且这个圈不相交。可以使用拓扑变换变换成一个圆形。

证明：构造法，设H为魔方空间全部点的集合，H‘为变换经历过的全部点的集合，从H中任意一点起（设为A点），先将这一点加入H'中，使用公式F变换，得到下一个点（B），这个点要么在H’中，要么不在，如果不在，就将变换后的点（B）加入H‘中。最后会得到封闭的空间H',也就是再怎么变换,新点也出不了H'。现在需要证明H'中的全部点加上变换路径形成一个圆圈。由于变换可以无限下去，但是空间H'是有限的，所以必定会形成一个死循环，即一个圈。有没有可能形成一个6字行的图案，还有8字形的图案呢？这是一个重大问题，

但是根据刚才讨论的变换所具有的一一对应，一一映射的性质，除了圆圈外，其他的图案无法形成，这个很直观。

一一对应的图论的解释是，任何点都有两个边，一个入边，一个出边。又要希望形成循环，只有圆圈这样简单的图样了。6，8，9以及更复杂的图样中，必定有一个点有2个以上的边。

构造法解释：H’从空集开始构造，首先加入一个原点A，这时对应的图是一个点A，经过一个变换F,如果变换后的点B不在集合H'中，加入点B，这时候后“图”是一个AB线段，再加入一个新点，“图”是ABC组成的线（不相交，可以拉直成直线），任何加入的新点只是延长了线的长度而已。最后图必须封闭，为了满足一一映射的要求，最后一次F变换必定变换到起点A上。如果变换到其他点上，如D点上，那么F的逆变换就有两个，一个逆变换到最后一点，一个逆变换到C点（D的前一点），这与变换的性质不符合。如果还不明白，请复习一一对应，变换，逆变换（一个公式只有一个反向变换公式）。

总结:现在比较圆满的证明了一个公式可以在魔方状态空间H中形成一个圈                                                                                    需要注意两点：一个是魔方状态空间H是有限的，一个是变换是一一映射的性质。